двойственная задача

 

двойственная задача
Другие названия — сопряженная, обратная задача, одно из фундаментальных понятий теории линейного программирования — инструмент, позволяющий установить, оптимально ли данное допустимое решение задачи ЛП без непосредственного сравнения его со всеми остальными допустимыми решениями. К каждой задаче линейного программирования можно построить своего рода симметричную: функционалы оптимальных решений у обеих задач совпадают, но если в прямой задаче они отражают наиболее эффективную комбинацию ресурсов, которая дает максимум целевой функции, то в другой, двойственной — наиболее эффективную комбинацию расчетных цен (оценок) ограниченных ресурсов. Это такие цены, при которых полученная продукция оправдывает затраты, а технологические способы, не включенные в план, по меньшей мере не более рентабельны, чем примененные. (Впрочем, хотя и принято считать прямой задачу, ориентированную на максимум целевой функции, а двойственной — ориентированную на минимум, на самом деле эти обозначения условны: обе задачи абсолютно равноправны, любую можно принять за прямую и искать к ней двойственную.) Д. з. состоит в минимизации затрат при заданных лимитах ресурсов и формулируется следующим образом (в обозначениях, приведенных в статье «Линейное программирование«): Найти набор переменных v1, v2, … vn (называемых разрешающими множителями, объективно обусловленными (оптимальными) оценками, двойственными ценами и т.п.), минимизирующий линейную функцию при том условии, что каждый включенный в план вид продукции рентабелен (полученная продукция оправдывает затраты), а не включенные в план — не более рентабельны, чем первые. Математически это условие можно записать так: (где j = 1, …, n) для включенных в план и не больше нуля — для отброшенных при решении задачи. Оценки характеризуют влияние свободных членов ограничений прямой задачи на оптимальную величину целевой функции. Иначе говоря, они показывают относительный вклад каждого ресурса в достижение оптимума; небольшое изменение количества ресурса изменяет оптимальное значение пропорционально величине оценки.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика

EN

• dual problem

 

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming

[ˈprɔbləm]

accounting problem бухгалтерская задача activity-analysis problem задача анализа операций algorithmic problem алгоритмическая проблема all integer problem вчт. полностью целочисленная задача allocation problem задача распределения approximating problem приближенная задача assignment problem задача о назначениях assignment problem задача о распределении auxiliary problem вспомогательная задача bargaining problem задача о торгах benchmark problem вчт. эталонная тестовая задача bottleneck problem вчт. проблема узких мест bottleneck problem проблема узких мест bounded-variable problem вчт. задача с ограниченными переменными bulk queueing problem задача о групповом обслуживании business problem коммерческая задача classical optimization problem классическая задача оптимизации congestion problem вчт. задача массового обслуживания convex programming problem задача выпуклого программирования cut problem задача о раскрое data-set problem задача обработки совокупности данных decision problem задача принятия решений define a problem сформулировать задачу define a problem формулировать задачу delivery problem задача о доставке drug problem проблема наркомании dual problem двойственная задача equilibrium problem задача о равновесии error minimization problem задача минимизации ошибок estimation problem задача оценивания extremal problem экстремальная задача finite horizon problem задача о конечном интервале forecasting problem задача прогнозирования game-theoretic problem задача теории игр general decision problem общая задача принятия решений general transportation problem общая транспортная задача harmonization problem эк. проблема согласования ill-defined problem плохо структурированная задача ill-posed problem некорректная задача inference problem проблема логического вывода infinite horizon problem задача о бесконечном интервале information retrieval problem информационно-поисковая задача intractable problem трудноразрешимая задача legal problem правовая проблема legal problem правовой вопрос linear programming problem задача линейного программирования longest-path problem задача о максимальном пути management problem управленческая задача market analysis problem вчт. задача анализа рынка maximization problem задача максимизации mental problem умственные трудности minimal path problem задача о минимальном пути minimization problem задача минимизации minimum problem задача на минимум multi-objective problem многоцелевая задача multifacility problem вчт. задача для многоканальной системы nonlinear programming problem задача нелинейного программирования optimal kit problem задача об оптимальном комплекте optimal path problem задача о выборе оптимального пути optimization problem задача оптимизации optimum problem задача оптимизации ordering problem задача упорядочения primal problem прямая задача probabilistic problem вероятностная задача problem вопрос problem мат., шахм. задача problem задача problem проблема; вопрос; задача problem проблема problem проблемный problem сложная ситуация problem трудный случай problem attr. проблемный; problem novel проблемный роман problem child трудный ребенок problem of waiting вчт. задача об обслуживании с ожиданием programming problem вчт. задача программирования programming problem вчт. проблема программирования psychiatric problem психиатрическая проблема queuing problem задача массового обслуживания real-time problem вчт. задача решаемая в реальном времени real-world problem практическая задача real-world problem реальная задача saddle-point problem задача нахождения седловой точки scaling problem проблема размерности scheduling problem задача планирования sequential decision problem задача последовательного принятия решений servicing problem задача массового обслуживания set the problem поставить задачу set the problem ставить задачу shortest path problem задача о кратчайшем пути shortest route problem задача о кратчайшем пути smoothing problem задача о сглаживании social problem социальная проблема software problem проблема программного обеспечения sojourn time problem задача о времени пребывания solder-ball problem проблема шарика припоя solvable problem разрешимая задача solve a problem решать проблему stale data problem проблема устаревших данных statistical problem статистическая задача symmetric problem симметричная задача symmetrical problem симметричная задача system analysis problem задача системного анализа test problem тестовая задача toy problem искусственная задача trade-off problem проблема компромиссных решений transportation problem транспортная задача transshipment problem транспортная задача промежуточных пунктов traveling salesman problem задача коммивояжера trim problem задача о раскрое trouble-shooting problem вчт. диагностическая задача unsymmetrical problem несимметричная задача urgent problem неотложная проблема waiting-line problem вчт. задача массового обслуживания waiting-line problem задача массового обслуживания waiting-time problem вчт. задача о времени ожидания warehouse problem задача о рациональном использовании склада warehouse storage problem задача о рациональном использовании склада weak bridge problem проблема слабой связки well-structured problem хорошо сформулированная задача

1) Экономика: двойственная задача (в теории линейного программирования)

2) Вычислительная техника: сопряжённая задача

1) Компьютерная техника: Linux Documentation Project

2) Медицина: leukodepleted platelets

3) Военный термин: leaflet dispensing pod, logistics data package, лазерное целеуказание (Laser Designation Pod)

4) Техника: large diameter pipe, local data package, local data processor

5) Строительство: (Licensor Design Package) Пакет проектной документации компании-лицензиара

6) Математика: линейная двойственная задача (linear dual problem)

7) Автомобильный термин: leak detection pump, Lane Departure Prevention

8) Металлургия: ТБД (трубы большого диаметра)

9) Политика: Liberal Democratic Party

10) Сокращение: Laser Designator Pod, Local Distribution Point, language data processing, Loader Debugger Protocol, Long Delay Path, труба большого диаметра (large-diameter pipe)

11) Электроника: Low Density Plasma

12) Вычислительная техника: language data processor, обработка лингвистической информации, Label Distribution Protocol (IETF, RFC 3036, MPLS), Linux Document Projects (Linux), Loader Debugger Protocol (RFC 909)

13) Связь: Label Distribution Protocol

14) Сетевые технологии: Berkeley UNIX Line Printer Daemon Protocol, протокол распределения меток (Label Distribution Protocol)

15) NYSE. London Pacific Group, LTD.